12解；（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°,∠A+∠C=90°,∴∠APQ=∠C．在△APQ与△ABC中,∵∠APQ=∠C,∠A=∠A,∴△AQP∽△ABC．（2）在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理得：AC=5．∵∠BPQ为钝角,∴当△PQB为等腰三角形时,①当点P在线段AB上时,如题图1所示．∵∠QPB为钝角,∴当△PQB为等腰三角形时,只可能是PB=PQ,由（1）可知,△AQP∽△ABC,∴PA ／AC ＝PQ ／BC ,即3−PB ／5=PB ／4 ,解得：PB=4／3
∴AP=AB-PB=3-4／3＝5／3
②当点P在线段AB的延长线上时,如题图2所示．
∵∠QBP为钝角,∴当△PQB为等腰三角形时,只可能是PB=BQ．∵BP=BQ,∴∠BQP=∠P,∵∠BQP+∠AQB=90°,∠A+∠P=90°,∴∠AQB=∠A,∴BQ=AB,∴AB=BP,点B为线段AP中点,∴AP=2AB=2×3=6．综上所述,当△PQB为等腰三角形时,AP的长为5／3或6