Question

微分方程求解y''=y'+x 如何利用常数变异可求通解?

Answer 1

先求y''=y'

dy'/dx=y'

dy'/y'=dx

两边同时积分得到lny'=x+lnC1

y'=C1e^x

再次积分得到y=C1e^x+C2

设y''=y'+x的通解为y=C1(x)e^x+C2(x)

y'=C1'(x)e^x+C1(x)e^x+C2'(x)

令C1'(x)e^x+C2'(x)=0……(1)

y''=C1'(x)e^x+C1(x)e^x

代回原方程得到:C1'(x)e^x+C1(x)e^x=C1(x)e^x+x

即C1'(x)e^x=x……(2)

联立(1)(2)解得:C1(x)=∫xe^(-x)dx=-xe^(-x)-e^(-x)+A1,C2(x)=-x²/2+A2,(A1,A2为常数)

所以y=A1e^x-x²/2-x+A2