Question

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点．求：

Answer 1

解题思路：（1）延长EB至F使BF=1，连接C₁F，则C₁F∥D₁E，则C₁F与平面BC₁D所成角等于D₁E与平面BC₁D所成角θ，计算出F到BC₁D的距离h．则sinθ=

h

C

1

F

（2）取BC₁的中点H，连接DH，CH，则∠DHC为二面角D-BC₁-C的平面角，在△DHC中利用余弦定理计算即可．

（1）如图

延长EB至F使BF=1，连接C₁F，则C₁F∥D₁E，则C₁F与平面BC₁D所成角等于D₁E与平面BC₁D所成角，设为θ，

设F到BC1D的距离为h．，则VC1-DBF=V F-C1BD∴[1/3]S△DBF×CC1=[1/3]S△DBC1×h，S△DBF=[1/2]×BF×DA=1，S△DBC1=

3

4×8=2

3，∴h=

3

3，sinθ=[h

C1F═

h

D1E＝

3/3

3＝

3

9]

（2）取BC₁的中点H，连接DH，CH，∵△DBC₁为正三角形，BCC₁为等腰直角三角形，∴DH⊥BC ₁，CH⊥BC ₁

∴∠DHC为二面角D-BC₁-C的平面角，设为β，在△DHC中，cosβ＝

DH2+HC

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查线面角、二面角求解，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力