Question

已知a+b+c=a^2+b^2+c^2=2 ,求证a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2

Answer 1

证明 先计算 bc+ca+ab=[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]/2=1

设f(x)=x(1-x)^2,只需证明:f(a)=f(b)=f(c) 即可.

注意恒等式运算

(x-a)*(x-b)*(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+( bc+ca+ab)x-abc=x^3-2x^2+x-abc

所以得

f(x)=(x-a)*(x-b)*(x-c)+abc (1)

令x=a,b,c依次得:f(a)=f(b)=f(c) .

从而 a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2=abc.