Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的两个焦点分别是F1（-1，0）、F2（1，0），且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1，

Answer 1

（1）设椭圆C的半焦距是c．依题意，得c=1．…（1分）

由题意焦距是椭圆C上一点p到两焦点F₁，F₂距离的等差中项，得4c=2a，∴a=2

∴b²=a²-c²=3．…（4分）

故椭圆C的方程为

x2

4+

y2

3＝1．…（6分）

（2）当MN⊥x轴时，显然y₀=0．…（7分）

当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．

代入椭圆方程，消去y整理得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．…（9分）

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为Q（x₃，y₃），则x₁+x₂=

8k2

3+4k2．…（10分）

所以x₃=

4k2

3+4k2，y₃=k（x₃-1）=[?3k

3+4k2，

∴线段MN的垂直平分线方程为y+

3k

3+4k2=-

1/k]（x-

4k2

3+4k2）．

在上述方程中令x=0，得y₀=[k

3+4k2=

1

3/k+4k]．…（12分）

当k＜0时，[3/k+4k≤-4

3]；当k＞0时，[3/k+4k≥4

3]．

所以?