已知椭圆E中心在原点O,焦点在X轴上,其离心率e=根号(2/3),过C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A,B两点,且满

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  • (1)设椭圆E的方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),由e=c/a=√(2/3)得,a²=3b².

    故椭圆方程为x²+3y²=3b².

    设A(x1,y1)、B(x2、y2).由于点C(-1,0)分向量AB的比为2,

    ∴x1+1=-2(x2+1)

    y1=-2y2

    由直线和双曲线联立得(3k²+1)x²+6k²x+3k²²-3b²=0.

    由直线l与椭圆E相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点得:

    △>0,x1+x2=-6k²/(3k²+1),x1x2=(3k²-3b²)/(3k²+1)

    而S△OAB=|y1-y2|=|-2y2-y2|=|y2|=|k(x2+1)|,①

    由(x1+2x1)/3=-1和x1+x2=-6k²/(3k²+1),把其代入①得:

    S△OAB=3|k|/(3k²+1)(k≠0).

    (2)因S△OAB=3|k|/(3k²+1)≤3/2√3,当且仅当k=±√3/3时,S△OAB取得最大值,此时x1+x2=-1.

    又∵x1+1=-2(x2+1),∴x1=1,x2=-2

    代入x1x2=(3k²-3b²)/(3k²+1) 得3b²=5.

    ∴椭圆方程为x²+3y²=5.