解题思路：（1）根据图象，可得A的坐标，再根据二次函数的对称性，可得B点的坐标；
（2）根据（1）的三个点的坐标，将其代入方程，并求解可得解析式；
（3）假设存在并设出其坐标，分P在x轴的上方、下方两种情况讨论，可得答案．
（1）因为A，C两点的横坐标分别为1，4，
所以点A（1，0）．（1分）
又点A，B关于对称轴x=4对称，点B（7，0）．（2分）
（2）因为二次函数y=ax2+bx-7的图象经过点A（1，0），B（7，0）．
所以
a+b−7＝0
49a+7b−7＝0（4分）
解得：
a＝−1
b＝8（6分）．
所以二次函数的表达式为y=-x2+8x-7．（7分）
（3）假设抛物线上存在点P（x，y），使得∠BAP=45°（8分）
①当点P在x轴上方时有x-1=y，
∴x-1=-x2+8x-7，
即x2-7x+6=0．
解得：x=6或x=1（不合题意舍去）
∴y=-62+8×6-7=5．
∴点P为（6，5）．（9分）
此时，S△ABP=[1/2]×（7-1）×5=[30/2]=15（10分）．
②当点P在x轴的下方时，有x-1=-y．
∴x-1=x2-8x+7，
解得：x=8或x=1（不合题意舍去）
∴y=-82+8×8-7=-7．
∴点P为（8，-7）．（11分）
此时，S△ABP=[1/2]×（7-1）×7=[42/2]=21（12分）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．