解题思路：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明；
（2）分两种情况：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上；②当0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，
（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t．
证明：（1）如图，连接PM，PN，
∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，
∵PE⊥PF，
∠NPE=∠MPF=90°-∠MPE，
在△PMF和△PNE中，
∠NPE=∠MPF
PN=PM
∠PNE=∠PMF，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PE=PF；
（2）分两种情况：
①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，
由（1）得△PMF≌△PNE，
∴NE=MF=t，PM=PN=1，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE-ON=t-1，
∴b-a=1+t-（t-1）=2，
∴b=2+a，
②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，
同理可证△PMF≌△PNE，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON-NE=1-t，
∴b+a=1+t+1-t=2，
∴b=2-a．
综上所述，当t＞1时，b=2+a；当0＜t≤1时，b=2-a；
（3）存在；
①如图3，当1＜t＜2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），
∴F′（1-t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1-[1/2]t，0）
∴OQ=1-[1/2]t，
由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，
∴OE=t-1
当△OEQ∽△MPF
∴[OE/MP]=[OQ/MF]
∴[t-1/1]=
1-
1
2t
t，
解得，t=
1+
17
4，
当△OEQ∽△MFP时，
∴[OE/MF]=[OQ/MP]，
[t-1/t]=
1-
1
2t
1，
解得，t=
2，
②如图4，当t＞2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，
∴F′（1-t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛
点评：
本题考点： 圆的综合题．
考点点评： 本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系．