过椭圆C:(x^2)/4+y^2=1的右焦点作直线L交椭圆C于M,N两点,且M,N到直线x=4/√3的距离之和为√3,求

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  • 设M(x1,y1),N(x2,y2),直线L的方程为x=√3或y=k(x-√3),M,N到直线x=4/√3的距离分别为d1,d2.

    (1)若直线L的方程为x=√3,有x1=x2=√3,d1=d2=4/√3-√3=√3/3,

    d1+d2=2√3/3≠√3,不合题设.

    (2)若直线L的方程为y=k(x-√3),有

    x^2+4k^2(x-√3)^2-4=0

    整理得:(1+4k^2)x^2-8√3k^2x+12k^2-4=0

    x1+x2=8√3k^2/(1+4k^2)

    ∵d1=4/√3-x1,d=4/√3-x2,d1+d2=√3

    ∴x1+x2=5/√3

    ∴8√3k^2/(1+4k^2)=5/√3

    解得:k=±√5/2

    ∴直线L的方程为:y=±√5/2(x-√3),