请楼主自己画图:(将ABCD放在底面,A1B1C1D1放在顶面.这样较方便看图一些).不妨设正方体的边长是a.那么它的面对角线长就是根号下2倍的a,记做SQRT(2)*a.
连接A1B,BC1,A1C1,形成A1BC1面.再连接B1D1,与A1C1交与其中点E1,再连接BE1.
下面首先证明∠B1BE1就是直线BB1与面A1BC1所成的角.
1) 很明显,△A1BC1是等边三角形,[各边长为根号下2倍的a],所以其三边的中线和高线,角平分线三线合一,重心[三中线的交点]为M,所以M也是△A1BC1 三边上的高线的交点.连接B1M..
2) 又在三棱锥B1-A1BC1中,B1A1=B1B=B1C1,[三条棱长相等],所以三棱锥B1-A1BC1是一个正三棱锥,B1在底面的投影是各边高线(也是中线)的交点.
3) 根据直线与面成角的定义.∠B1BM就是要求的角.也就是
4) 延长BM,则必然交A1C1与其中点.E1.所以∠B1BM=∠B1BE1.
然后,计算∠B1BE1的大小.
1) 因为BB1垂直与面A1B1C1D1,所以BB1垂直于B1E1.△BB1E1是直角三角形.
2) 在直角三角形△BB1E1中,tan(∠B1BE1)=B1E1/B1B= [SQRT(2)*a/2] / a =SQRT(2)/2
3) 所以∠B1BE1= arc tan [SQRT(2)/2]
另外.因为arctan(x)是增函数,而且SQRT(2)/2