（2009•四川）设数列{an}的前n项和为Sn，

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解题思路：（Ⅰ）由题设条件能导出a_n+1-a_n=5a_n+1，即
a
n+1
=-
1
4
a
n
，所以
a
n
=(-
1
4
)
n
，∴
b
n
=
4+
(-
1
4
)
n
1-
(-
1
4
)
n
．
（Ⅱ）由
b
n
=4+
5
(-4)
n
-1
，知
c
n
=
b
2n
-
b
2n-1
=
5
4
2n
-1
+
5
4
2n-1
+1
=
25×
16
n
(
16
n
-1)(
16
n
+4)
=
25×
16
n
(
16
n
)
2
+3×
16
n
-4
＜
25×
16
n
(
16
n
)
2
=
25
16
n
，当n=1时，
T
1
＜
3
2
；当n≥2时，
T
n
＜
4
3
+25×(
1
16
2
+
1
16
3
+…+
1
16
n
)
＜
4
3
+25×
1
16
2
1-
1
16
=
69
48
＜
3
2
．
（Ⅲ）由
b
n
=4+
5
(-4)
n
-1
知R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1=
4n+5×(-
1
4
1
+1
+
1
4
2
-1
-
1
4
3
+1
+…-
1
4
2k+1
+1
)
=
4n+5×[-
1
4
1
+1
+(
1
4
2
-1
-
1
4
3
+1
)+…+(
1
4
2k
-1
-
1
4
2k+1
+1
)]
＞4n-1．由此入手能推导出正实数λ的最小值为4．
（Ⅰ）当n=1时，a₁=5a₁+1，∴a1＝−
1
4
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，即an+1＝−
1
4an
∴数列a_n成等比数列，其首项a1＝−
1
4，公比是q＝−
1
4
∴an＝(−
1
4)n
∴bn＝
4+(−
1
4)n
1−(−
1
4)n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn＝4+
5
(−4)n−1
∴cn＝b2n−b2n−1＝
5
42n−1+
5
42n−1+1＝
25×16n
(16n−1)(16n+4)
=
25×16n
(16n)2+3×16n−4＜
25×16n
(16n)2＝
25
16n
又b1＝3，b2＝
13
3，∴c1＝
4
3
当n=1时，T1＜
3
2
当n≥2时，Tn＜
4
3+25×(
点评：
本题考点：数列递推式；数列的求和；数列与不等式的综合．
考点点评：本题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．

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