Question

椭圆x23+y22＝1内有一点P（1，1），一直线过点P与椭圆相交于P1、P2两点，弦P1P2被点P平分，求直线P1P2

Answer 1

解题思路：因为点P（1，1）在椭圆内，且弦P₁P₂被点P平分，所以可用“点差法”求相交弦所在直线方程，方法是将P₁，P₂两点坐标代入椭圆方程，作差后将中点坐标代入即可得弦P₁P₂的斜率，最后由点斜式写出直线方程．

设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则

x12

3+

y12

2＝1，

x22

3+

y22

2＝1

两式相减得

(x1+x2)(x1−x2)

3+

(y1+y2)(y1−y2)

2＝0

∵弦P₁P₂被点P平分，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2

代入上式得

y1−y2

x1−x2=-[2/3]，即直线P₁P₂的斜率为[2/3]

∴直线P₁P₂的方程为 y-1=[2/3]（x-1），即2x+3y-5=0．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．

考点点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，解决直线与椭圆相交且已知相交弦中点坐标时，可采用“点差法”．