Question

已知：如图(1)，在平行四边形ABCD中，对角线CA⊥BA，AB＝AC＝8cm，四边形A 1 B 1 C 1 D 1 是

Answer 1

(1)由条件可知 △ABC和△ADC都是等腰直角三角形，

∴ ∠BCA＝∠D ₁＝45°，∴ CQ∥D ₁C ₁，∴ 四边形CD ₁C ₁Q是平行四边形．

∴ C ₁D ₁＝B ₁A ₁＝AB＝8,

CD ₁＝A ₁D ₁－AC＝8

－8．

∴ 四边形CD ₁C ₁Q的周长为 [(8

－8)＋8]×2＝16

(cm) ．

(2) 如图①，在等腰直角△A ₁B ₁P中，A ₁B ₁＝8，

∴ PA ₁＝4

，PQ＝BP＝8－4

．

∴ 两个平行四边形重合部分的面积为

S＝

＝(32

－16)(cm ²) ．

(3)当平行四边形A ₁B ₁C ₁D ₁运动到点C ₁在BC上时，如图②，则C ₁与Q重合，

这时运动距离为C ₁H (如图①)， ∴C ₁H＝QC ₁＝CD ₁＝8

－8

这时运动时间 x＝8

－8．

①若0≤x≤8

－8，如图③，AA ₁＝x, AP＝4

－x，

PQ＝BP＝AB－AP＝8－(4

－x)＝x＋8－4

, A ₂C ₂＝8－x．

y＝S _{四边形ABCD}－S _△BPQ－S _△A2C2D＝AB×AC－

×BP ²－

×C ₂D ²

＝8×8－

×(x＋8－4

) ²－

×(8－x) ²＝－x ²＋4

x＋32

－16．

∵

， 0＜

＜8

－8 ,

∴ 当x＝

时，y _最大1＝32

－8．

②若8

－8≤x≤4

,如图④, P C ₁＝PA ₁＝4

, AA ₁＝A ₁A ₂＝x，

C ₂C ₃＝C ₂D ₁＝8

－8．

y＝S _{梯形A1PC1D1}－S _△AA1A2－S _△C2C3D1

＝

＝－

x ²＋64

－48．

∵ －

＜0, ∴ 当x＞0时，

随

的增大而减小，

∴x在8