Question

地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距

Answer 1

解题思路：根据万有引力提供向心力求出卫星在同步轨道上的动能，以及通过万有引力势能的表达式求出卫星在同步轨道上的引力势能，从而得出在同步轨道上同步卫星的机械能，根据机械能守恒定律求出卫星在空间站上的机械能，结合引力势能的大小求出卫星在离开空间站时必须具有的初动能．

由G

Mm

r2＝

mv2

r得，卫星在空间站上动能为Ek＝

1

2mv2＝G

Mm

2(R+h)

卫星在空间站上的引力势能为EP＝−G

Mm

(R+h)

机械能为E1＝Ek+Ep＝−G

Mm

2(R+h)

同步卫星在轨道上正常运行时有G

Mm

r2＝mω2r

故其轨道半径r＝

3

GM

ω2

由上式可得同步卫星的机械能E2＝−G

Mm

2r＝−

1

2m

3G2M2ω2

卫星运动过程中机械能守恒，故离开航天飞机的卫星的机械能应为E₂，

设离开航天飞机时卫星的初动能为E_k0

则E_k0=E2−Ep＝−

1

2m

3G2M2ω2

+G

Mm

R+h．

答：该卫星在离开空间站时必须具有初动能为−

1

2m

3G2M2ω2

+G

Mm

R+h．

点评：

本题考点： 人造卫星的加速度、周期和轨道的关系；万有引力定律及其应用．

考点点评： 解决本题的关键知道卫星在运行的过程中机械能守恒，以及掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用．