求函数f(x)=ln(1+x)−14x2在[0,2]上的最大值和最小值.

2个回答

  • 解题思路:要求函数在区间的最值,求出导函数令其为零得到驻点,然后分区间讨论函数的增减性,求出函数的极大值,考虑闭区间两个端点对应的函数值的大小,最后判断出最大值和最小值即可.

    f′(x)=

    1

    1+x−

    1

    2x,

    令[1/1+x−

    1

    2x=0,

    化简为x2+x-2=0,解得x1=-2(舍去),x2=1.

    当0≤x<1时,f'(x)>0,f(x)单调增加;

    当1<x≤2时,f'(x)<0,f(x)单调减少.

    所以f(1)=ln2−

    1

    4]为函数f(x)的极大值.

    又因为f(0)=0,f(2)=ln3-1>0,f(1)>f(2),

    所以f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值,

    f(1)=ln2−

    1

    4为函数f(x);

    在[0,2]上的最大值.

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本小题主要考查函数的导数计算,利用导数讨论函数的性质,判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力.