Question

（2010•南通模拟）设fn(x)=12+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+…+rn-1cos2n-2x(n≥

Answer 1

（1）1°当r=0时，显然0≥-

3

8

2°当r≠0时，设φ（x）=rcosx+r²cos2x=r²（2cos²x-1）+rcosx

=2r2(cosx+

1

4r)2-

1

8-r2≥-

1

8-r2≥-

1

8-(

1

2)2=-

3

8．（|r|≤

1

2）

（2）当|r|≤

1

2时，∀x∈R，∀n∈N^*（n≥2），f2n+1=

1

2+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+r4cos8x++r2n-1cos22(n-1)x+r2ncos22n-1x

=

1

2+φ(x)+r2φ(4x)++r2(n-1)•φ(4n-1x)≥

1

2-

3

8(1+r2++r2(n-1))≥

1

2-

3

8(1+

1

4++

1

4n-1)

=

1

2-

3

8•

1-

1

4n

1-

1

4=

1

2•4n=

1

22n+1＞0．