Question

求函数z=xy在x^2+y^2=1上的最大值和最小值

Answer 1

解由x^2+y^2≤1

设x=ksina,y=kcosa

故k^2sin^2a+k^2cos^2a≤1

即k^2≤1

即-1≤k≤1

则z=xy=ksinakcosa=k^21/2×2sinacosa

=1/2k^2sin2a

由-1≤sin2a≤1

即-1/2≤1/2sin2a≤1/2

又由k^2≤1

即-1/2k^2≤1/2k^2sin2a≤1/2k^2

即-1/2≤1/2k^2sin2a≤1/2

故-1/2≤z≤1/2

故函数z=xy在x^2+y^2=1上的最大值1/2和最小值-1/2.