(2009•孝感模拟)如图,点C为线段AB上一动点,△ACD,△CBE是等边三角形,AE交BD于点O,AE交CD于点P,

1个回答

  • 解题思路:已知△ACD,△CBE是等边三角形,可证△ACE≌△DCB.从而△BCQ≌△ECP,则PE=BQ①对,故EO≠BQ.③错.

    由上可知∠CEA=∠CBO,∠EQO=∠BQC,从而可推出△BCQ∽△E0Q,则∠BCQ=∠EOQ=∠AOD=60°②对.

    因∠POQ=120°,又因为△BCQ∽△E0Q,所以[OQ/CQ]=[QE/BQ],因为∠OQC=∠BQE,所以△OQC∽△EQB,所以∠COQ=∠CEB=60°,∠POC=60°,则OC平分∠AOB⑤对.

    连接PQ,过点P做OP=OM,则△OPM为等边三角形,所以∠OMC=60°,故∠PMC=120°,又因为∠POQ=120°,所以∠PMC=∠POQ,易证PQ∥BC,所以∠OQP=∠DBC,因为∠DBC=∠AEC,所以∠OQP=∠AEC,因为∠OPC=∠OPC,∠AOC=∠PCE=60°所以△CPO∽△EPC,∠PEC=∠PCO,∠PCO=∠OQP.又因为OP=PM,可知△OPQ≌△MPC,所以MC=OQ.因此OC+OE=OP+OQ+OE=PE+OQ=QB+OQ=OB④对.

    ∵△ACD,△CBE是等边三角形

    ∴BC=CE,CD=AC,∠BCD=∠ACE

    ∴△ACE≌△DCB

    ∴∠AEC=∠CBD,∠PCE=∠QCB,BC=EC

    ∴△BCQ≌△ECP

    ∴PE=BQ①对,故EO≠BQ.③错

    由上可知,∠CEA=∠CBO,∠EQO=∠BQC

    ∴△BCQ∽△E0Q

    ∴∠BCQ=∠EOQ=∠AOD=60°②对.

    ∴∠POQ=120°

    ∵△BCQ∽△E0Q

    ∴[OQ/CQ]=[QE/BQ]

    ∵∠OQC=∠BQE

    ∴△OQC∽△EQB

    ∴∠COQ=∠CEB=60°

    ∴∠POC=60°

    ∴OC平分∠AOB⑤对.

    连接PQ,过点P做OP=OM.

    ∵∠POM=60°

    ∴△OPM为等边三角形

    ∴∠OMC=60°

    ∴∠PMC=120°

    又∵∠POQ=120°

    ∴∠PMC=∠POQ,易证PQ∥BC

    ∴∠OQP=∠DBC

    ∵∠DBC=∠AEC

    ∴∠OQP=∠AEC

    ∵∠OPC=∠OPC,∠AOC=∠PCE=60°

    ∴△CPO∽△EPC

    ∴∠PEC=∠PCO

    ∴∠PCO=∠OQP

    又∵OP=PM

    ∴△OPQ≌△MPC

    ∴MC=OQ

    ∴OC+OE=OP+OQ+OE=PE+OQ=QB+OQ=OB④对.

    故①②④⑤是正确的.

    点评:

    本题考点: 等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 当题中出现两个等边三角形时,常见的两对三角形对应全等等知识点应牢固掌握.得到其中的相似并且利用相似是本题的难点.