解题思路:已知△ACD,△CBE是等边三角形,可证△ACE≌△DCB.从而△BCQ≌△ECP,则PE=BQ①对,故EO≠BQ.③错.
由上可知∠CEA=∠CBO,∠EQO=∠BQC,从而可推出△BCQ∽△E0Q,则∠BCQ=∠EOQ=∠AOD=60°②对.
因∠POQ=120°,又因为△BCQ∽△E0Q,所以[OQ/CQ]=[QE/BQ],因为∠OQC=∠BQE,所以△OQC∽△EQB,所以∠COQ=∠CEB=60°,∠POC=60°,则OC平分∠AOB⑤对.
连接PQ,过点P做OP=OM,则△OPM为等边三角形,所以∠OMC=60°,故∠PMC=120°,又因为∠POQ=120°,所以∠PMC=∠POQ,易证PQ∥BC,所以∠OQP=∠DBC,因为∠DBC=∠AEC,所以∠OQP=∠AEC,因为∠OPC=∠OPC,∠AOC=∠PCE=60°所以△CPO∽△EPC,∠PEC=∠PCO,∠PCO=∠OQP.又因为OP=PM,可知△OPQ≌△MPC,所以MC=OQ.因此OC+OE=OP+OQ+OE=PE+OQ=QB+OQ=OB④对.
∵△ACD,△CBE是等边三角形
∴BC=CE,CD=AC,∠BCD=∠ACE
∴△ACE≌△DCB
∴∠AEC=∠CBD,∠PCE=∠QCB,BC=EC
∴△BCQ≌△ECP
∴PE=BQ①对,故EO≠BQ.③错
由上可知,∠CEA=∠CBO,∠EQO=∠BQC
∴△BCQ∽△E0Q
∴∠BCQ=∠EOQ=∠AOD=60°②对.
∴∠POQ=120°
∵△BCQ∽△E0Q
∴[OQ/CQ]=[QE/BQ]
∵∠OQC=∠BQE
∴△OQC∽△EQB
∴∠COQ=∠CEB=60°
∴∠POC=60°
∴OC平分∠AOB⑤对.
连接PQ,过点P做OP=OM.
∵∠POM=60°
∴△OPM为等边三角形
∴∠OMC=60°
∴∠PMC=120°
又∵∠POQ=120°
∴∠PMC=∠POQ,易证PQ∥BC
∴∠OQP=∠DBC
∵∠DBC=∠AEC
∴∠OQP=∠AEC
∵∠OPC=∠OPC,∠AOC=∠PCE=60°
∴△CPO∽△EPC
∴∠PEC=∠PCO
∴∠PCO=∠OQP
又∵OP=PM
∴△OPQ≌△MPC
∴MC=OQ
∴OC+OE=OP+OQ+OE=PE+OQ=QB+OQ=OB④对.
故①②④⑤是正确的.
点评:
本题考点: 等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 当题中出现两个等边三角形时,常见的两对三角形对应全等等知识点应牢固掌握.得到其中的相似并且利用相似是本题的难点.