证明:若M1、M2为正定矩阵,则1/|M1|+1/|M2|>=8/|M1+M2|

1个回答

  • 只要证明|M1+M2|/|M1|+|M1+M2|/|M2| ≥ 8.

    而|M1+M2|/|M1| = |E+M1^(-1)M2|,|M1+M2|/|M2| = |E+M2^(-1)M1|.

    设A = M1^(-1)M2,只要证明|E+A|+|E+A^(-1)| ≥ 8.

    由M1正定,存在可逆实矩阵P使M1 = PP' (P'为P的转置).

    于是A = (PP')^(-1)M2相似于B = P^(-1)M2(P')^(-1).B为一个正定矩阵.

    A的特征值均为正实数,设为λ1,λ2,...,λn > 0.

    则|E+A| = (1+λ1)(1+λ2)...(1+λn),|E+A^(-1)| = (1+λ1)(1+λ2)...(1+λn)/(λ1·λ2·...·λn).

    由均值不等式1+λi ≥ 2√(λi),(1+λ1)(1+λ2)...(1+λn) ≥ 2^n·√(λ1·λ2·...·λn),

    另有1+1/(λ1·λ2·...·λn) ≥ 2/√(λ1·λ2·...·λn).

    故|E+A|+|E+A^(-1)| = (1+λ1)(1+λ2)...(1+λn)+(1+λ1)(1+λ2)...(1+λn)/(λ1·λ2·...·λn) ≥ 2^(n+1).

    即对2阶以上的矩阵,命题成立.