Question

用反证法证明一元二次方程至多有两个不同实根

Answer 1

假设一元二次方程ax²+bx+c=0,（a≠0）至少有三个互不相等的实根

设三个根分别为r,s,t,

则r≠s,s≠t,t≠r,且

ar²+br+c=0,①

as²+bs+c=0,②

at²+bt+c=0,③

①－②,得(r-s)[a(r+s)+b]=0,

∵r≠s,∴a(r+s)+b=0,④

②－③,得(s-t)[a(s+t)+b]=0,

∵s≠t,∴a(s+t)+b=0,⑤

④－⑤,得a(r-t)=0,

∴a=0,或r=t,

与a≠0且t≠r矛盾,

∴假设不成立,一元二次方程ax²+bx+c=0,（a≠0）至多有两个不相等的实根