(2013•南开区模拟)设函数f(x)=a(x-[1/x])-2lnx,g(x)=[2e/x],(a是实数,e是自然对数

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)求出导数,求出f′(1),写出直线l的方程,联立l和y=g(x)消去y,得到x的方程,讨论a=1,a≠1

    由相切的条件:判别式为0,求出a;

    (2)求出导数,讨论函数f(x)在它的定义域内是单调增函数,还是减函数,运用分离参数,基本不等式求最值,从而求出a的范围.

    (I)由f′(x)=a+

    a

    x2−

    2

    x,

    则f′(1)=2(a-1),

    直线l的方程为:y=2(a-1)(x-1),

    y=2(a−1)(x−1)

    y=

    2e

    x,得(a−1)(x−1)=

    e

    x,

    即(a-1)x2-(a-1)x-e=0,

    i)当a=1时,方程无解;

    ii)当a≠1时,由△=(a-1)2-4(a-1)(-e)=0,得a=1-4e,

    综上可得,a=1-4e.

    (II)f′(x)=a+

    a

    x2−

    2

    x=

    ax2−2x+a

    x2,

    i)若函数f(x)在它的定义域内是单调递增函数,

    由f′(x)≥0,对∀x∈(0,+∞),即a≥

    2x

    1+x2,

    而函数y=

    2x

    1+x2=

    2

    x+

    1

    x在x∈(0,+∞)的值域为(0,1],

    所以,a≥1.

    ii)若函数f(x)在它的定义域内是单调递减函数,

    由f′(x)≤0,对∀x∈(0,+∞),即a≤

    2x

    1+x2,

    而函数y=

    2x

    1+x2在x∈(0,+∞)的值域为(0,1],

    所以a≤0.

    综上可得,若函数f(x)在它的定义域内是单调函数,

    a的取值范围是[1,+∞)∪(-∞,0].

    点评:

    本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.

    考点点评: 本题考查导数的综合应用:求切线、求单调性,同时考查参数分离、基本不等式的运用求最值,是一道中档题.