解题思路:(Ⅰ)求出导数,求出f′(1),写出直线l的方程,联立l和y=g(x)消去y,得到x的方程,讨论a=1,a≠1
由相切的条件:判别式为0,求出a;
(2)求出导数,讨论函数f(x)在它的定义域内是单调增函数,还是减函数,运用分离参数,基本不等式求最值,从而求出a的范围.
(I)由f′(x)=a+
a
x2−
2
x,
则f′(1)=2(a-1),
直线l的方程为:y=2(a-1)(x-1),
由
y=2(a−1)(x−1)
y=
2e
x,得(a−1)(x−1)=
e
x,
即(a-1)x2-(a-1)x-e=0,
i)当a=1时,方程无解;
ii)当a≠1时,由△=(a-1)2-4(a-1)(-e)=0,得a=1-4e,
综上可得,a=1-4e.
(II)f′(x)=a+
a
x2−
2
x=
ax2−2x+a
x2,
i)若函数f(x)在它的定义域内是单调递增函数,
由f′(x)≥0,对∀x∈(0,+∞),即a≥
2x
1+x2,
而函数y=
2x
1+x2=
2
x+
1
x在x∈(0,+∞)的值域为(0,1],
所以,a≥1.
ii)若函数f(x)在它的定义域内是单调递减函数,
由f′(x)≤0,对∀x∈(0,+∞),即a≤
2x
1+x2,
而函数y=
2x
1+x2在x∈(0,+∞)的值域为(0,1],
所以a≤0.
综上可得,若函数f(x)在它的定义域内是单调函数,
a的取值范围是[1,+∞)∪(-∞,0].
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题考查导数的综合应用:求切线、求单调性,同时考查参数分离、基本不等式的运用求最值,是一道中档题.