Question

已知定义在R上的函数f(x)＝2x+a2x，a为常数．

Answer 1

解题思路：（1）利用条件f（-x）=f（x），建立方程即可求a的值；

（2）利用函数单调性的定义进行证明f（x）在[0，+∞）上的单调性，并猜想f（x）在（-∞，0）上的单调性．

（1）∵函数f(x)=2x+

a

2x，f（-x）=f（x），

∴f（-x）=2-x+

a

2-x=2x+

a

2x，

整理得（a-1）（2^x-2^-x）=0

即a-1=0，解得a=1．

（2）∵a=1，∴f(x)=2x+

a

2x=2x+

1

2x．

设0≤x₁2，
f(x1)-f(x2)=2x1+
1
2x1-2x2-
1
2x2=2x1-2x2+
2x2-2x1
2x12x2
=(2x1-2x2)(1-
1
2x12x2)=(2x1-2x2)
2x1⋅2x2-1
2x1⋅2x2，
∵0≤x₁2，
∴x₁-x₂<0，2x1⋅2x2-1>0，
∴f（x₁）-f（x₂）<0，即f（x₁）2）．
∴f（x）在[0，+∞）上的单调递增．
由（1）知函数f（x）为偶函数，
∴f（x）在（-∞，0）上的单调性递减．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查奇偶性的应用以及函数单调性的应用，考查学生的运算能力．