Question

（2011•武汉模拟）设f（x）=sinπx是[0，1]上的函数，且定义f1（x）=f（x），…，fn（x）=f（fn-

Answer 1

解题思路：根据已知条件和递推关系，先求出n=1满足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的个数；n=2满足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的个数；然后总结归纳其中的规律，

显然，y=f₁（x）与y=x的图象有2=2¹个交点．

接下来考虑f₂（x），在x属于[0，[1/2]]时，f₁（x）从0单调上升到1，于是f₂（x）从0上升到1再下降到0；

当x属于[[1/2]，1]时，又是这样一个周期．你近似画出它的图象（只要增减性画对）就知道它会上升到1，下降到0，再上升到1，再下降到0，这样和y=x有4=2²个交点．

接下来，你再看f₃（x），就会发现周期又缩短了一半．它有4次上升下降，与直线y=x有8=2³个交点．

归纳可以得出结论：f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的个数是：2ⁿ．

故选D．

点评：

本题考点： 函数的周期性．

考点点评： 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题