1) ln(x+1)>1-a/(x+2) ∵x>0
∴ （x+2)ln(x+1)-x-2>-a
设g(x)=（x+2)ln(x+1)-x-2
则g'(x)=ln(x+1)+(x+2)/(x+1)-1
=[(x+1)ln(x+1)+1]/x+1
设h(x)=(x+1)ln(x+1)+1
则h'(x)=ln(x+1)+1>0
∴h(x)在(0,+∞）是增函数 h(x)>h(0)=1
即g'(x)>1
∴g(x)在(0,+∞）是增函数 g(x)>g(0)=-2
即-2>-a ∴a的取值范围是a≥2
2)证明：
记f(x)=ln(1+x)-x/(2+x),x>0
f'(x)=[(x+1)²+1]/[(x+1)(2+x)²]>0,f(x)↑
又f(x)可在x=0处连续则
f(x)>f(0)=0
即 ln(1+x)>x/(2+x)
取1/n(>0)替换x有
ln[(n+1)/n]>1/(2n+1)
将此不等式中的n依次从1取到n累加有
ln(2/1)+ln(3/2)+...+ln[(n+1)/n]>1/3+1/5+...+1/(2n+1)
即 ln(n+1)>1/3+1/5+...+1/(2n+1)