Question

（2009•奉贤区二模）已知数列{an}满足：a1=6，an+1＝n+2nan+(n+1)(n+2)．

Answer 1

解题思路：（1）表示出新数列连续两项，做差，得到差是定值，得到数列是等差数列，写出通项公式，

（2）用数列的通项和所给的组合数比较，整理后求出k的值，表示出通项，要求前n项和，写出后观察可用组合数的性质得出结果．

（3）整理构造的新数列，化简后可用裂项法求和，得到和式，求极限．

（1）an+1＝

n+2

nan+(n+1)(n+2)

变为：

an+1

(n+2)(n+1)＝

an

n(n+1)+1＝＞dn+1−dn＝1

所以{d_n}是等差数列，d1＝

a1

1•2＝3，

所以d_n=3+（n-1）=n+2

（2）由（1）得a_n=n（n+1）（n+2）

a_n=kC³_n+2=k•

n(n+1)(n+2)

6，k=6

即：a_n=n（n+1）（n+2）=6C_n+2³

所以，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=6（C₃³+C₄³+C₅³++C_n+2³）

=6C_n+3⁴

=

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

（3）bn＝

n(n+1)

n+2•2n+1

[1

bn＝

n+2

n(n+1)•2n+1＝

1

n•2n−

1

(n+1)•2n+1

利用裂项法得：Tn＝

1

b1+

1

b2+

1

b3++

1

bn=

1/2−

1

(n+1)•2n+1]

∴

lim

n→+∞Tn＝

1

2

点评：

本题考点： 等差数列的通项公式；极限及其运算；等差数列的前n项和．

考点点评： 有的数列可以通过递推关系式构造新数列，构造出一个我们较熟悉的数列，从而求出数列的通项公式．这是一种化归能力的体现． 数列的递推关系式往往比通项公式还重要，我们要重视数列的递推关系式，依据递推关系式的特点，选择恰当的方法，达到解决问题的目的．