解题思路：（1）f′（x）=[a+1/x]+2ax=
2a
x
2
+a+1
x
，（x∈（0，+∞））．对a分类讨论：当a≥0时，当a≤-1时，当-1＜a＜0时，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）不妨设0＜x1≤x2，对任意x1、x2恒有|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|⇔f（x1）-f（x2）≥4（x2-x1），
⇔f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）=f′（x）+4=[a+1/x]+2ax+4，等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，即[a+1/x]+2ax+4≤0，分离参数即可得出．
（1）f′（x）=[a+1/x]+2ax=
2ax2+a+1
x，（x∈（0，+∞））．
当a≥0时，f′（x）＞0，因此函数f（x）在x∈（0，+∞）单调递增．
当a≤-1时，f′（x）＜0，因此函数f（x）在x∈（0，+∞）单调递减．
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
−
a+1
2a．
当x∈(0，
−
a+1
2a)时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈(0，
−
a+1
2a)单调递增．
当x∈(
−
a+1
2a，+∞)时，f′（x）＜0，函数f（x）在x∈(
−
a+1
2a，+∞)单调递减．
（2）不妨设0＜x1≤x2，对任意x1、x2恒有|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|
⇔f（x1）-f（x2）≥4（x2-x1），
⇔f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，（*）
令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）=f′（x）+4=[a+1/x]+2ax+4，
（*）等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，即[a+1/x]+2ax+4≤0，
从而a≤
−4x−1
2x2+1=
(2x−1)2
2x2+1−2≤-2，
∴a的取值范围是（-∞，-2]．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法、分类讨论的思想方法，考查了分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．