Question

如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再

Answer 1

解题思路：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：

①根据矩形的判定与性质作出判断；

②根据菱形的判定与性质作出判断；

③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A₅B₅C₅D₅的周长；

④根据四边形A_nB_nC_nD_n的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．

①连接A₁C₁，B₁D₁．

∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，

∴A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC；

∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，

∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形；

∵AC⊥BD，

∴四边形是A₁B₁C₁D₁矩形，

∴B₁D₁=A₁C₁
∴A₂D₂=C₂D₂=C₂B₂=B₂A₂（中位线定理），

∴四边形A₂B₂C₂D₂是菱形；

故本选项错误；

②由①知，四边形A₂B₂C₂D₂是菱形；

∴根据中位线定理知，四边形A₄B₄C₄D₄是菱形；

故本选项正确；

③根据中位线的性质易知，A₅B₅=

1/2]A₃B₃=[1/2]×[1/2]A₁B₁=[1/2]×[1/2]×[1/2]AC，B₅C₅=[1/2]B₃C₃=[1/2]×[1/2]B₁C₁=[1/2]×[1/2]×[1/2]BD，

∴四边形A₅B₅C₅D₅的周长是2×[1/8]（a+b）=[a+b/4]；

故本选项正确；

④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，

∴S_{四边形ABCD}=ab÷2；

由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，

四边形A_nB_nC_nD_n的面积是

ab

2n+1；

故本选项正确；

综上所述，②③④正确．

故答案为②③④．

点评：

本题考点： 菱形的判定与性质；三角形中位线定理．

考点点评： 本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．