解题思路：从不等式的结构可知是轮换式，故可根据均值不等式得：
x
3
(1+y)(1+z)
+
1+y
8
+
1+z
8
≥[3x/4]，
y
3
(1+z)(1+x)
+
1+x
8
+
1+z
8
≥[3y/4]，
z
3
(1+x)(1+y)
+
1+x
8
+
1+y
8
≥[3z/4]，三式相加可证得结论．
证明：根据均值不等式得：
x3
(1+y)(1+z)+
1+y
8+
1+z
8≥[3x/4]①
y3
(1+z)(1+x)+
1+x
8+
1+z
8≥[3y/4]②
z3
(1+x)(1+y)+
1+x
8+
1+y
8≥[3z/4]③
①+②+③得
x3
(1+y)(1+z)+
y3
(1+z)(1+x)+
z3
(1+x)(1+y)≥[x+y+z/2−
3
4]
∵x+y+z≥3
3xyz
=3
∴
x3
(1+y)(1+z)+
y3
(1+z)(1+x)+
z3
(1+x)(1+y)≥[3/4]
点评：
本题考点： 不等式的证明．
考点点评： 本题主要考查了基本不等式的证明，解题的关键利用均值不等式，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．