已知抛物线y=x2-(m2+5)x+2m2+6.

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  • 解题思路:(1)令抛物线中y=0,即可用十字相乘法求得两根的值,由此可得证.

    (2)在(1)中已经求得了两点的坐标,即可表示出AB的距离.

    (3)根据d的长以及(2)中得出的d的表达式可确定出抛物线的解析式,也就能得出A、B的坐标.可以AB为直径作圆,圆与抛物线有交点,说明抛物线上存在符合条件的P点,可根据抛物线的解析式设出P点坐标(设横坐标,根据抛物线的解析式表示出纵坐标),在直角三角形ABP中,∠APB=90°,如果过P作PQ⊥x轴于Q,那么根据射影定理可得出PQ2=AQ•QB,由此可求出P点坐标.

    (1)令y=0,得x2-(m2+5)x+2m2+6=0,

    即(x-2)(x-m2-3)=0

    解得x1=2,x2=m2+3

    ∴一定有交点A(2,0),B(m2+3,0)

    ∴结论得证

    (2)∵A(2,0),B(m2+3,0)

    ∴d=AB=m2+1

    (3)d=AB=m2+1=10,

    ∴y=x2-14x+24

    ∴A(2,0),B(12,0)

    以AB为直径画圆,由图可知与抛物线有两个交点

    ∴存在这样的点P

    设点P坐标为(x,x2-14x+24),作P1Q⊥横轴于Q,则点Q(x,0)

    易得△AQP∽△PQB

    ∴[AQ/QP=

    PQ

    QB],

    ∴PQ2=AQ•BQ=(x-2)(12-x)=(x2-14x+24)2

    即(x-2)(12-x)=(x-2)2(x-12)2,(x-2)(x-12)≠0,

    ∴解得x=7±2

    6

    ∴点P为(7+2

    6,-1),或(7-2

    6,-1).

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、直角三角形的判定等知识.综合性较强,难度适中.