答：
题目中应该还有个条件是直线L不平行于x轴,否则的话如何一条平行于x轴的直线只要与抛物线y=x^2+3有两个交点,则都会满足∠AOC=∠BOC,因为点A和B关于y轴对称.
设直线L即AB直线为y=kx+b,与抛物线y=x^2+3联立整理得：
x^2-kx+3-b=0
存在两个不同的交点A（x1,y1）和B（x2,y2）：
△=k^2-4(3-b)>0,即：k^2>12-4b
x1+x2=k
x1*x2=3-b
点C坐标为（0,b）
因为：∠AOC=∠BOC
所以：AO的斜率和BO的斜率互为相反数,KAO=-KBO
所以：y1/x1=-y2/x2
所以：x1+3/x1=-x2-3/x2
所以：x1+x2=-3(x1+x2)/(x1*x2)
所以：k=-3k/(3-b)
所以：b=6
所以点C为（0,6）.