1、使分式(X-1)²/2X-4X+2的值为整数的X的整数值有多少个?

2个回答

  • 1.题目中2x,应该是(2x),后面几道题不清楚分母,请将分母用括号表示.

    显然x不等于0,设(x-1)^2/(2x)-4x+2=n,两边同时乘以2x,化简得到:

    7x^2+2(n-1)x-1=0,

    上述方程有整数解,故 关于x的判别式至少为完全平方数,即

    △^2=4(n-1)^2-28 =4[(n-1)^2-7]为完全平方数,不妨设为4m^2

    故 (n-1)^2-7=m^2,

    (m-n+1)(m+n-1)=7*1

    由于7是素数,而m,n都是整数,所以有以下四组方程:

    (1)m-n+1=7,m+n-1=1,解得 m=4,n=-2,

    (2)m-n+1=1,m+n-1=7,解得 m=4,n=4,

    (3)m-n+1=-7,m+n-1=-1,解得m=-4,n=4,

    (4)m-n+1=-1,m+n-1=-7,解得 m=-4,n=-2,

    所以n只有两种情况(-2或4)可以满足判别式为完全平方数,

    经检验:当n=-2时,原分式的x有一个整数解x=1,

    当n=4时,原分式的x有一个整数解x=-1.

    综上所述,x的整数值有2个,(1或-1)

    【注】更简单的方法是:先化简原分式,x/2-1+1/(2x)-4x+2,

    去掉整数部分,得到 -7x/2+1/(2x) =(-7x+1/x)/2 是整数,设为n,

    则-7x+1/x=2n,7x^2+2nx-1=0有整数解x的必要条件是,

    判别式 4n^2+28是完全平方数,n^2+7=m^2,(m-n)(m+n)=7*1

    以下自己完成.