Question

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），

∴

4a?2b+c＝0

64a+8b+c＝0

c＝?4，解得

a＝

1

4

b＝?

3

2

c＝?4，

∴抛物线的解析式为：y=[1/4]x²-[3/2]x-4；

∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．

如答图1，连接AC、BC．

由勾股定理得：AC=

20，BC=

80．

∵AC²+BC²=AB²=100，

∴∠ACB=90°，

∴AB为圆的直径．

由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，

∴D（0，4）．

（2）解法一：

设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），

∴

8k+b＝0

b＝4，解得

k＝?

1

2

b＝4，

∴直线BD解析式为：y=-[1/2]x+4．

设M（x，[1/4]x²-[3/2]x-4），

如答图2-1，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，-[1/2]x+4）．

∴ME=（-[1/2]x+4）-（[1/4]x²-[3/2]x-4）=-[1/4]x²+x+8．

∴S_△BDM=S_△MED+S_△MEB=[1/2]ME（x_E-x_D）+[1/2]ME（x_B-x_E）=[1/2]ME（x_B-x_D）=4ME，

∴S_△BDM=4（-[1/4]x²+x+8）=-x²+4x+32=-（x-2）²+36．

∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；

解法二：

如答图2-2，过M作MN⊥y轴于点N．

设M（m，[1/4]m²-[3/2]m-4），

∵S_△OBD=[1/2]OB?OD=[1/2×8×4=16，

S_梯形OBMN=

1

2]（MN+OB）?ON

=[1/2]（m+8）[-（[1/4]m²-[3/2]m-4）]

=-[1/2]m（[1/4]m²-[3/2]m-4）-4（[1/4]m²-[3/2]m-4），

S_△MND=[1/2]MN?DN

=[1/2]m[4-（[1/4]m²-[3/2]m-4）]

=2m-[1/2]m（[1/4]m²-[3/2]m-4），

∴S_△BDM=S_△OBD+S_梯形OBMN-S_△MND

=16-[1/2]m（