∵函数f(x)=x α+1∴f(x)-1=x α,
由题意知函数y=x α,或是奇函数或是偶函数,
①当函数y=f(x)-1=x α,是奇函数时,
∴其图象关于原点对称,
又函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为6,最小值为3,
∴函数f(x)-1在区间[a,b]上的最大值为5,最小值为2,
由对称性知:
函数f(x)-1在区间区间[-b,-a]上的最大值为-2,最小值为-5,
∴函数f(x)在区间区间[-b,-a]上的最大值为-1,最小值为-4,
则f(x)在区间[-b,-a]上的最大值与最小值的和为-5;
②当函数y=f(x)-1=x α,是偶函数时,
∴其图象关于原点对称,
又函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为6,最小值为3,
∴函数f(x)-1在区间[a,b]上的最大值为5,最小值为2,
由对称性知:
函数f(x)-1在区间区间[-b,-a]上的最大值为5,最小值为2,
∴函数f(x)在区间区间[-b,-a]上的最大值为6,最小值为3,
则f(x)在区间[-b,-a]上的最大值与最小值的和为9;
故答案为:-5或9.