Question

在△ABC中,如果sinA^2+sinB^2=sin(A+B),且A、B都是锐角,求A+B的值

Answer 1

这道题有一个很巧的方法

将锐角A,B看作三角形的内角 角C=180-A-B

有正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r

于是 sinA=a/r sinB=b/r sinC=c/r sin(A+B) =sinC

代入上式 有 a^2/r^2+ b^2/r^2= c^2/r^2

即 a^2+b^2=c^2

这个三角形即直角三角形 所以A+B＝90

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下面给出另一方法

sin²A+sin²B=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sinAsinA-sinAcosB=sinBcosA-sinBsinB

sinA(sinA-cosB)=sinB(cosA-sinB)

若A+B>90,则A>90-B

sinA>sin(90-B)=cosB,sinA-cosB>0

cosA0,上面的等式显然不能成立

若A+B