Question

解高数一微积分证明题麻烦会做的XDJM们给出具体证明步骤,设函数f(x)在[0,1]上连续,且∫01xf(x)dx=∫0

Answer 1

∫01xf(x)dx=∫01f(x)dx,所以

∫01（1-x)f(x)dx=0,

又因为F(0)=0.

F(1)=∫01（1-t)f(t)dt=0,

根据Roll定律,存在ξ∈(0,1)使F'(ξ)=0

F(x)=∫0x(x-t)f(t)dt=xF(x)=x∫0xf(t)dt-∫0x(t)f(t)dt,

F'(x)=∫0xf(t)dt+x(∫0xf(t)dt)'-(∫0x(t)f(t)dt)'

=∫0xf(t)dt,

所以F'(ξ)=∫0ξf(x)dx=0