已知椭圆x24+y23=1的长轴为线段AB,点M是椭圆上不同于A,B的任意一点,
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1个回答

  • 解题思路:(1)设M(x0,y0),则x024+y023=1,由已知得A(-2,0),B(2,0),由此能证明k1k2=y0x0+2•y0x0−2=y02x02−4=-34,为定值.(2)设直线MA:y1=k1(x+2),直线MB:y2=k2(x-2),由已知得C(3,5k1),D(3,k2),以CD为直径的圆方程为(x-3)2+[y-12(5k1+k2)]2=14(5k1-k2)2,化简得 x2-6x+9+y2-(5k1+k2)y=-5k1k2=154,由此能证明以CD为直径的圆过定点(3+152,0)和(3-152,0).

    证明:(1)设M(x0,y0),则

    x02

    4+

    y02

    3=1,

    y02

    3=1-

    x02

    4=

    4−x02

    4,

    y02

    x02−4=-[3/4],

    ∵椭圆

    x2

    4+

    y2

    3=1的长轴为线段AB,

    ∴A(-2,0),B(2,0),

    ∴k1=

    y0

    x0+2,k2=

    y0

    x0−2,

    ∴k1k2=

    y0

    x0+2•

    y0

    x0−2=

    y02

    x02−4=-[3/4],

    ∴k1k2为定值-[3/4].

    (2)设直线MA:y1=k1(x+2),直线MB:y2=k2(x-2),

    ∵直线MA,MB与直线x=3分别相交于C,D两点,

    ∴C(3,5k1),D(3,k2

    ∴以CD为直径的圆方程为(x-3)2+[y-[1/2](5k1+k2)]2=[1/4](5k1-k22

    化简得 x2-6x+9+y2-(5k1+k2)y=-5k1k2=[15/4],

    ∴以CD为直径的圆过定点(3+

    15

    2,0)和(3-

    15

    2,0).

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

    考点点评: 本题考查两直线的斜率的乘积这定值的证明,考查圆过定点的证明,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运用.