解题思路:(1)设M(x0,y0),则x024+y023=1,由已知得A(-2,0),B(2,0),由此能证明k1k2=y0x0+2•y0x0−2=y02x02−4=-34,为定值.(2)设直线MA:y1=k1(x+2),直线MB:y2=k2(x-2),由已知得C(3,5k1),D(3,k2),以CD为直径的圆方程为(x-3)2+[y-12(5k1+k2)]2=14(5k1-k2)2,化简得 x2-6x+9+y2-(5k1+k2)y=-5k1k2=154,由此能证明以CD为直径的圆过定点(3+152,0)和(3-152,0).
证明:(1)设M(x0,y0),则
x02
4+
y02
3=1,
∴
y02
3=1-
x02
4=
4−x02
4,
∴
y02
x02−4=-[3/4],
∵椭圆
x2
4+
y2
3=1的长轴为线段AB,
∴A(-2,0),B(2,0),
∴k1=
y0
x0+2,k2=
y0
x0−2,
∴k1k2=
y0
x0+2•
y0
x0−2=
y02
x02−4=-[3/4],
∴k1k2为定值-[3/4].
(2)设直线MA:y1=k1(x+2),直线MB:y2=k2(x-2),
∵直线MA,MB与直线x=3分别相交于C,D两点,
∴C(3,5k1),D(3,k2)
∴以CD为直径的圆方程为(x-3)2+[y-[1/2](5k1+k2)]2=[1/4](5k1-k2)2,
化简得 x2-6x+9+y2-(5k1+k2)y=-5k1k2=[15/4],
∴以CD为直径的圆过定点(3+
15
2,0)和(3-
15
2,0).
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.
考点点评: 本题考查两直线的斜率的乘积这定值的证明,考查圆过定点的证明,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运用.