Question

如图，已知抛物线C1：x2=2py的焦点在抛物线C2：y＝12x2+1上．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）写出C₁的焦点为F（0，[p/2]），代入抛物线C₂方程即可求得p值，从而可得抛物线C₁的方程及其准线方程；

（Ⅱ）任取点P（2t，t²），设过点P的C₂的切线方程为y-t²=k（x-2t）．联立切线方程与抛物线C₂的方程，消掉y得x的二次方程，由相切得△=0，整理为关于k的二次方程，设PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，由韦达定理可用t表示出m，根据m范围可得t²范围，由两点距离公式可得|OP|的范围；

（Ⅰ）C₁的焦点为F（0，[p/2]），

所以[p/2]=0+1，p=2．

故C₁的方程为x²=4y，其准线方程为y=-1．

（Ⅱ）任取点P（2t，t²），设过点P的C₂的切线方程为y-t²=k（x-2t）．

由

y−t2＝k(x−2t)

y＝

1

2x2+1，得x²-2kx+4tk-2t²+2=0．

由△=（2k）²-4（4tk-2t²+2）=0，化简得k²-4tk+2t²-2=0，

记PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，则m=k₁k₂=2t²-2，

因为m∈[2，4]，所以t²∈[2，3]，

所以|OP|²=4t²+t⁴=（t²+2）²-4∈[12，21]，

所以|OP|∈[2

3，

21]．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．

考点点评： 本题考查抛物线方程、直线方程及直线与抛物线的位置关系，本题中P点坐标设法运用了抛物线的参数方程，简化了运算，给解决问题提供了方便．