应该说其它特征值的模都小于等于1.
首先利用Gershgorin圆盘定理容易证明谱半径不超过1,即谱半径就是1.如果还想证明单位圆周上除了1之外没有别的特征值就需要额外的条件,比如矩阵的所有元素都是正的.
Gershgorin圆盘定理：按行来看,
定义半径R_i = sum_{i≠j} |A(i,j)|,即第i行所有非对角元的模的和
再定义一个以对角元A(i,i)为圆心,R_i为半径的闭圆盘C_i={z: |z-A(i,i)| ≤ R_i}
那么A的所有特征值都落在n个闭圆盘C_i的并集中,这个就是圆盘定理.
1.对于行和为1的非负矩阵A,|z-A(i,i)| ≤ R_i => |z|≤A(i,i)+R_i=1,也就是说每个圆盘C_i都包含于闭单位圆,所以A的谱半径不超过1.再利用1就是特征值的结论得到A的谱半径为1.
2.除了Hermite矩阵之外,一般很难保证特征值都在实轴上,根本没那么好的运气,即使是实矩阵一般也有虚特征值.
3.如果某个特征值λ落在一个圆盘{z: |z-A(i,i)| ≤ R_i}上,那么说明|λ-A(i,i)| ≤ R_i,仅此而已,怎么可能进一步得到λ=|λ-A(i,i)|.