解题思路：（1）由
f(x)＝
x
3
−ax ， g(x)＝
1
2
x
2
−lnx−
5
2]，知f′（x）=3x2-a，
g
′
(x)＝x−
1
x
，由此求出当x=1时，g（x）有极小值g（1）=-2．由g（x）与f（x）在同一点处有相同的极值，知f（1）=-2，且f′（1）=0，从而能求出a．
（2）对一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x2+5x-3恒成立等价于a≤
(2lnx+
3
x
+x)
min
，记t（x）=2lnx+[3/x]+x，x＞0，则
t
′
(x)＝(2lnx+
3
x
+x
)
′
=
x
2
+2x−3
x
2
，由此能求出实数a的取值范围．
（3）当
x≥1时，总有G(x)≤
1
2
x
2
成立
，等价于当
x≥1时，总有G(x)≤
1
2
x
2
成立
≥1时，总有xlnx≤[1/2
x
2
-
1
2]．设F（x）=xlnx+[1/2]-
1
2
x
2
，x≥1，由此利用导数性质能够证明故当
x≥1时，总有G(x)≤
1
2
x
2
成立
．
（1）∵f(x)＝x3−ax ， g(x)＝
1
2x2−lnx−
5
2，
∴f′（x）=3x2-a，g′(x)＝x−
1
x，
令g′(x)＝x−
1
x=0，得x=1，（x=-1舍）
当0＜x＜1时，g′（x）0．
∴当x=1时，g（x）有极小值g（1）=-2．
∵g（x）与f（x）在同一点处有相同的极值，
∴f（1）=-2，且f′（1）=0，即
1−a＝−2
3−a＝0，
解得a=3．
（2）不等式f（x）≥2x•g（x）-x2+5x-3转化为：
x3−ax≥2x(
1
2x2−lnx−
5
2)−x2+5x-3，
化简，得ax≤2xlnx+x2+3，
∵x∈（0，+∞），
∴a≤2lnx+
3
x+x，
∵对一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x2+5x-3恒成立，
∴a≤(2lnx+
3
x+x)min，
记t（x）=2lnx+[3/x]+x，x＞0，则t′(x)＝(2lnx+
3
x+x)′=[2/x−
3
x2+1=
x2+2x−3
x2]，
令t′（x）=0，得
x2+2x−3
x2＝0，解得x=1．
在（0，1）上，t′（x）＜0；在（1，+∞）上，t′（x）＞0．
故当x=1时，t（x）有极小值为4，
故a∈（-∞，4]．
（3）证明：∵g（x）=[1/2x2−lnx−
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质、构造法、等价转化思想的合理运用．
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