Question

已知函数 f ( x )＝ ax 2 －(2 a ＋1) x ＋2ln x ， a ∈R.

Answer 1

（1） a ＝

（2） f ( x )的单调递增区间是

和(2，＋∞)，单调递减区间是

f ′( x )＝ ax －(2 a ＋1)＋

( x >0)．

(1)由题意得 f ′(1)＝ f ′(3)，解得 a ＝

.

(2) f ′( x )＝

( x >0)．

①当 a ≤0时， x >0， ax －1<0.在区间(0,2)上， f ′( x )>0；在区间(2，＋∞)上， f ′( x )<0，故 f ( x )的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．

②当0< a <

时，

>2.在区间(0,2)和

上， f ′( x )>0；在区间

上， f ′( x )<0.

故 f ( x )的单调递增区间是(0,2)和

，单调递减区间是

.

③当 a ＝

时， f ′( x )＝

≥0，

故 f ( x )的单调递增区间是(0，＋∞)．

④当 a >

时，0<

<2，在区间

和(2，＋∞)上， f ′( x )>0；在区间

上， f ′( x )<0.

故 f ( x )的单调递增区间是

和(2，＋∞)，单调递减区间是

.