a(n+1)=(1/3)an+n/3^(n+1)
两边同时乘以3^(n+1)
3^(n+1)a(n+1)=3^nan+n
那么3^nan=3^(n-1)a(n-1)+(n-1)
3^(n-1)a(n-1)=3^(n-2)a(n-2)+(n-2)
...
3²a2=3a1+1
累加得3^nan=3a1+(n-1)+(n-2)+...+1=3+n(n-1)/2=(n²-n+6)/2
an=(n²-n+6)/[2×3^n]
因为n≥1,所以n²≥n
那么n²-n≥0
n²-n+6≥6
所以(n²-n+6)/[6×3^(n-1)]≥6/[6×3^(n-1)]
即(n²-n+6)/[2×3^n]≥1/[3^(n-1)]
2×3^n=2×(1+2)^n≥2×[C(n,0)+C(n,1)2+C(n,2)2²]=2×[1+2n+2n²-2n]=4n²+2
因为4n²+2-(n²-n+6)=3n²+n-4
又3n²+n≥4
所以4n²+2≥n²-n+6
那么n²-n+6≤2×3^n
所以(n²-n+6)/[2×3^n]≤1
所以1/[3^(n-1)]≤an≤1