平面图形绕y轴旋转一周所生成的旋转体体积.

2个回答

  • 设切点坐标为P(x0,y0),

    y'=1/x,

    切线斜率k=(y0-0)/(x0-0)=y0/x0=1/x0,

    y0=1,1=lnx0,x0=e,

    切线方程为:y=x/e,

    所围图形面积为:S=e*1/2-∫(1→e)(lnx)dx,(用分部积分)

    =e/2-(xlnx-x)(1→e)

    =e/2-[e-e-(0-1)]

    =e/2-1.

    由y=lnx,转成x=e^y,

    V=π∫(0→1)(e^y)^2dy-πe^2*1/3

    =(π/2)[e^(2y)](0→1)-πe^2/3

    =πe^2/6-π/2,

    其体积是去除空心圆锥部分,其底面积为πe^2,高为1,

    也可写成π∫(0→1)(ey)^2dy=πe^2y^3/3(0→1)=πe^2/3.