解题思路：（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）首先求出函数的导数，根据函数在x=2处取到极值求得a值，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程f（x）=0有3个不同实根．
（Ⅰ）将点（1，3）代入f（x）=x3+3ax2+3ax+1，得a=[1/6]．…（2分）
于是f（x）=x3+[1/2]x2+[1/2]x+1．
∴f′（x）=3x2+x+[1/2]．
由题意知该直线的斜率为k=f′（1）=[9/2]．…（4分）
∴所求直线方程为y-3=[9/2]（x-1），即9x-2y-3=0．…（6分）
（Ⅱ） f′（x）=3x2+6ax+3a．
由f′（2）=0，得a=-[4/5]．…（8分）
此时f′（x）=3x2-[24/5]x-[12/5]．
由f′（x）=3x2-[24/5]x-[12/5]＞0，解得x＜-[2/5]或x＞2．
∴f（x）最大f（-[2/5]）＞0，f（x）最小=f（2）＜0．
所以曲线y=f（x）与x轴有3个交点．，即方程f（x）=0有3个实根．…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，体现了数形结合的思想方法，属中档题．