证明：
令滑动变阻器接入电路电阻的功率Px为因变量,滑动变阻器接入电路电阻Rx为自变量,则
串联电路的总电阻：R总=R+Rx
滑动变阻器接入电路电阻的两端电压为：Ux=RxU/(Rx+R)
滑动变阻器接入电路电阻的功率：Px=Ux²/Rx=[Rx²U²/(Rx+R)²] × (1/Rx)
即：Px=[Rx/(Rx+R)²] U²=[1/(Rx+2R+R²/Rx)] U² .(1)
令Y=Rx+2R+R²/Rx,设Rx=x,R=a,则原式可变为：
y=x+2a+a²/x
=2a+(√x)²+(a/√x)²-2(√x)(a/√x)+2(√x)(a/√x)
=2a+[√x-(a/√x)]²+2(√x)(a/√x)
=4a+[√x-(a/√x)]²
当√x-(a/√x)=0时,上式取得最小值,即当x=a时,y取得最小值,其最小值为4a.
根据上面所设的关系,即当Rx=R时,Y取得最小值,即最小值Y=4R
而当Y取得最小值时,1/(Rx+2R+R2/Rx) 即可取得最大值,则分析上面（1）式可知,此时Px取得最大值,Px的最大值为：Px=U²/4R
综上所述,当Rx=R时,即滑动变阻器与定值电阻平分电压时,滑动变阻器消耗功率的功率为最大值,其最大值为U²/4R.
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