Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-2x+c的图象与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0

Answer 1

解题思路：（1）运用待定系数法将B（3，0），C（0，-3）两点的坐标代入y=ax²-2x+c，求出解析式即可；

（2）将四边形ABPC的面积，面积分割为S_△AOC+S_△OCP+S_△OPB求出三个三角形的面积即可得出；

（3）根据菱形的性质，得出y=-[3/2]，x的值，从而得出P点的坐标．

（1）将B（3，0），C（0，-3）两点的坐标代入y=ax²-2x+c得：

9a−6+c＝0

c＝−3

解得：

a＝1

c＝−3，

∴二次函数的表达式为：y=x²-2x-3；

（2）当点P运动到抛物线顶点时，连接AC，PC，PB，PO，做PM⊥AB，PN⊥OC，

∵二次函数的表达式为y=x²-2x-3；

∴P点的坐标为（1，-4），即PN=1，PM=4，还可得出OB=3，OC=3，AO=1，

∴四边形ABPC的面积=S_△AOC+S_△OCP+S_△OPB
=[1/2]×AO×OC+[1/2]×PN×OC+[1/2]PM×OB，

=[1/2]×1×3+[1/2]×1×3+[1/2]×4×3，

=9；

（3）存在点P，使四边形POP′C为菱形，设P点坐标为（x，y），

PP′交CO于M，若使四边形POP′C是菱形，

则有PC=PO，连接PP′，则PM⊥CO于M，

∴OM=MC=[3/2]，

∴y=-[3/2]．

∴x²-2x-3=-[3/2]，

解得：x₁=

2+

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及分割四边形求面积，以及菱形的性质，题目是中考中比较典型问题．