解题思路：利用有界闭区域上连续函数的性质，如果在区域D内某点取到最值，则必为极值点；逐项分析各个选项，判断其结论是否正确，从而选出正确答案．
A错误：
因为f（x，y）在D的边界上恒为零，故如果f（x，y）存在非零的最大值，则最大值在内部取到．假设f（x，y）在D内某点P0（x0，y0）取得最大值M＞0，则P0为极大值点，从而[∂f/∂x|P0=
∂f
∂y|P0=0．
由已知条件
∂f(x，y)
∂x]+2
∂f(x，y)
∂y=-f（x，y）可得，f（x0，y0）=0，与M=f（x0，y0）＞0矛盾．
B错误：类似于A可证选项B错误．
C错误：由A、B的分析可得，f（x，y）不存在非零最大值，也不存在非零最小值，从而f≡0．故最值可以在边界取得，也可以在内部取到．
D正确：由选项C的分析，f≡0，故最值可以在边界上取得最大值与最小值．
故选：D．
点评：
本题考点： 有界闭区域上连续函数的性质最值定理．
考点点评： 本题考查了连续函数在有界闭区域上的最值定理以及在区域内部取得最值的必要条件，题目具有较强的综合性，需要仔细计算与分析．特别需要注意的是，选项C是错误的．