(1 )∵二次函数图象的顶点为P (4 ,-4 ),
∴设二次函数的关系式为
,
又∵二次函数图象经过原点(0,0),
∴
,解得
,
∴二次函数的关系式为
,即
,
(2)设直线OA的解析式为y=kx,将A(6,-3)代入得-3=6k,解得
,
∴直线OA的解析式为
,
把x=4代入
得y=-2,
∴M(4,-2),
又∵点M 、N 关于点P 对称,
∴N (4 ,-6 ),MN=4 ,
∴
;
(3)①证明:过点A作AH⊥l于点H,,l与x轴交于点D。则,设A(
),
则直线OA 的解析式为
,
则M(
),N(
),H(
)。
∴OD=4,ND=x 0,HA=
,NH=
。
∴
,
∴
,
∴∠ANM=∠ONM;
②不能。理由如下:分三种情况讨论:
情况1,若∠ONA是直角,由①,得∠ANM=∠ONM=450,
∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH,即
。
整理,得
,解得
,
∴此时,点A与点P重合。故此时不存在点A,使∠ONA是直角。
情况2,若∠AON是直角,则
,
∵
,
∴
,
整理,得
,解得
。
∴此时,故点A与原点或与点P重合。故此时不存在点A,使∠AON是直角。
情况3,若∠NAO是直角,则△AMN∽△DMO∽△DON,
∴
,
∵OD=4,MD=
,ND=
,
∴
,
整理,得
,
解得
,
∴此时,点A与点P重合。故此时不存在点A,使∠ONA是直角,
综上所述,当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时,△ANO不能成为直角三角形。