解题思路：（1）已知x∈（0，+∞）时，f（x）=ax+2lnx，可以令x＜0，得-x＞0，代入f（x）即可求解；
（2）假设存在，已知当x∈（0，+∞）时，f（x）=ax+2lnx，对f（x）进行求导，利用导数求出x∈[-e，0）的最小值让其等于4，求出a值，从而进行判断；
（3）由题意要证函数f（x）在区间x∈（1，+∞）上被函数g（x）=x3覆盖等价于需证x3＞x+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，然后令h（x）=x3-x-2lnx（x＞1），求出其导数会发现h（x）为单调增函数，可知f（x）在（1，+∞）上的最小值为h（1），从而求证；
（1）当x∈（-∞，0），则-x＞0，由已知得，
f（-x）=-ax+2ln（-x）=-f（x），
∴f（x）=ax-2ln（-x），
∴f(x)
ax+2lnx(x＞0)
ax−2ln(−x)(x＜0)；
（2）假设存在a＜0，满足题意，∵f（x）=ax-2ln（-x），x∈[-∞，0）
∴f′（x）=a+[2/x]=
a(x+
2
a)
x，x∈[-∞，0），
令f′（x）=0，x=-[2/a]，
当-[2/a＞-e，即a＜
2
e]时，f（x）在（-e，-[2/a]）是减函数，在（-[2/a]，0）为增函数，
∴f（x）min=f（-[2/a]）=4，解得a=-2e，
当-[2/a]≤-e，即0＞a≥[2/a]时，f（x）在（-e，0）上增函数，
∴f（x）min=f（-e）=4，解得a=-[6/e]＜-[2/e]矛盾；
综上所诉，存在a=-2e满足题意．
（3）证明：由题意知，只需证x3＞x+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，
令h（x）=x3-x-2lnx（x＞1），
∴h′（x）=3x2-1-[2/x]=
(x−1)(3x2+3x+2)
x，
∵x＞1，∴x-1＞0，3x2+3x+2＞0，
∴h′（x）＞0，对x∈（1，+∞）恒成立，
∴x＞1时，h（x）＞h（1）=0
∴h（x）＞0⇔x3＞x+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，即证；
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 第一问利用函数的奇偶性进行求解，比较常见，第三问是一道证明题，定义了一个新定义覆盖的概念，将这个问题转化为函数的恒成立的问题，就会比较简单；