Question

一道概率论的问题麻烦证明下下面这个式子,

Answer 1

这个题属于非常难的,要证明这个题,先证明一个预命题：

对于任意的事件A,B,C,都有P(AB)+P(AC)-P(BC)≤ P(A),

证明：

对于任意的事件A,B,C；因为AB∪AC=A(B∪C)包含于A,于是

P(AB ∪AC) ≤ P(A),.(1)

另外显然P(ABC)≤ P(BC)

所以P(AB ∪AC)＝P(AB)+P(AC)-P(AB∩AC)

=P(AB)+P(AC)-P(ABC) ≥P(AB)+P(AC)-P(BC).(2)

由(1)式和(2)式可得

P(AB)+P(AC)-P(BC)≤ P(A).(3),

这样预命题成立；

可以得到

b≤ a.(a)

然后显然0≤P(ABC) .(4)

显然P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)≤ 1

把式子(3)(4)代入上式可以得到：

P(B)+ P(C)-P(BC)≤ 1

得到5a-b≤ 1.(b)

结合式子(a)(b)得到

a≤ 1/4

又b≤ a≤ 1/4

(题外话,这个题你可以讨论一下等号成立的条件,留给你吧）