解题思路：（1）求导函数，确定函数的单调性，即可得到函数的极值；
（2）存在x1，x2∈[[1/2]，2]，使f（x1）＞g（x2），转化为在[[1/2]，2]上f（x）的最大值大于g（x）的最小值，进而转化为求f（x）、g（x）在[[1/2]，2]上的最大值、最小值问题．
（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=[1/2]，f（x）=4lnx-ax+[a+3/x]=4lnx-[x/2]+[7/2x]，
∴f′（x）=[4/x-
1
2-
7
2x2]=-
(x-1)(x-7)
2x
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴可得1＜x＜7，令f′（x）＜0，
∵x＞0，∴可得0＜x＜1或x＞7
∴函数的单调减区间为（0，1），（7，+∞），单调增区间为（1，7）
∴x=1时，函数取得极小值为3；x=7时，函数确定极大值为4ln7-3；
（2）f′（x）=
-ax2+4x-(a+3)
x2，（x＞0），令h（x）=-ax2+4x-（a+3），
若a≥1，则△=42-4（-a）[-（a+3）]=-4（a-1）（a+4）≤0，
∴h（x）≤0，
∴f′（x）=
-ax2+4x-(a+3)
x2≤0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
∴当a≥1时，f（x）在[[1/2]，2]上单调递减，∴f（x）在[[1/2]，2]上的最大值为f（[1/2]）=-4ln2+[3/2]a+6，
g′（x）=2ex-4，令g′（x）=0，得x=ln2．
当x∈[[1/2]，ln2）时，g′（x）＜0，∴g（x）单调递减，x∈（ln2，2]时，g′（x）＞0，∴g（x）单调递增，
∴g（x）在[[1/2]，2]上的最小值为g（ln2）=4-4ln2+2a，
由题意可知-4ln2+[3/2]a+6＞4-4ln2+2a，解得a＜4，
又a≥1，∴实数a的取值范围为[1，4）．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的极值与最值，考查存在性问题，属于中档题．